如图,直线y=2x与双曲线y=8x交于点A、E,直线AB交双曲线于另一点B(2m,m),连接EB并延长交x轴于点F.(1)m=______;(2)求直线AB的解析式;(3)求△EOF的面积;(4)若点P为坐标平面内一点,且以A,B,E,P为顶点的四边形是平行四边形,请直接写出所有满足条件的点P的坐标.

问题描述:

如图,直线y=2x与双曲线y=

8
x
交于点A、E,直线AB交双曲线于另一点B(2m,m),连接EB并延长交x轴于点F.
(1)m=______;
(2)求直线AB的解析式;
(3)求△EOF的面积;
(4)若点P为坐标平面内一点,且以A,B,E,P为顶点的四边形是平行四边形,请直接写出所有满足条件的点P的坐标.

(1)∵点B(2m,m)在双曲线y=

8
x
上,
∴2m•m=8,解得m=±2,而m>0,
∴m=2.
故答案为2;
(2)m=2,则B点坐标为(4,2),
解方程组
y=2x
y=
8
x
x=−2
y=−4
x=2
y=4

∴A点坐标为(-2,-4),E点坐标为(2,4),
设直线AB的解析式为y=kx+b,
把A(-2,-4),B(4,2)代入得:-2k+b=-4,4k+b=2,解方程组得k=1,b=-2,
∴直线AB的解析式为y=x-2;
(3)设直线EB的解析式为y=kx+b,
把E(2,4),B(4,2)代入得:2k+b=4,4k+b=2,解方程组得k=-1,b=6,
∴直线EB的解析式为y=-x+6,
令y=0,则-x+6=0,得x=6,即F点的坐标为(6,0),
∴△EOF的面积=
1
2
×6×4=12;
(4)满足条件的点P的坐标为(-4,-2)、(0,-6)、(8,10).
答案解析:(1)把点B(2m,m)代入双曲线y=
8
x
,即可求出满足条件的m的值;
(2)先解方程组
y=2x
y=
8
x
可得到A点坐标为(-2,-4)和E点坐标为(2,4),然后利用待定系数法求出直线AB的解析式;
(3)先利用待定系数法求出直线EB的解析式,再令y=0,确定F点的坐标,最后根据三角形的面积公式求出△EOF的面积;
(4)分类讨论:分别以AB、BE、AE为对角线求对应的P点坐标.分别求出过A点与BE平行的直线解析式;过B点与AE平行的直线解析式;过E点与AB平行的直线解析式;然后求出这三条直线的交点即可.
考试点:反比例函数综合题.
知识点:本题考查了反比例函数的综合题:点在图象上,点的横纵坐标满足图象的解析式,利用待定系数法求直线的解析式以及两直线平行的解析式的关系.