曲线与方程问题 急已知直线l:y=kx+1/2 与曲线 y=(1/2)x^2-1交于AB两点,O是坐标原点,求三角形AOB面积的最大值
问题描述：
曲线与方程问题 急
已知直线l:y=kx+1/2 与曲线 y=(1/2)x^2-1交于AB两点,O是坐标原点,求三角形AOB面积的最大值
答
(1)易求得原点O(0,0)到直线L的距离d=1/[2√(1+k^2)].（2）联立两方程得关于x的一元二次方程：x^2-2kx-3=0.由此得|AB|=2√[(3+k^2)*(1+k^2)]。故三角形AOB的面积S=d*|AB|/2=[√(3+k^2)]/2。故Smin=√3/2。（注：题意可能是求面积的最小值）
答
y=kx+1/2代入曲线方程得:
kx+1/2=1/2x^2-1
x^2-2kx-3=0
x1+x2=2k
x1x2=-3.
(x1-x2)^2=(x1+x2)^2-4x1x2=4k^2+12
|x1-x2|=根号(4k^2+12)
方程判别式=(-2k)^2-4(-3)=4k^2+12>0
即k取任何值.
直线AB与Y轴的交点坐标是C(0,1/2)
S(OAB)=S(OAC)+S(OBC)=1/2*|OC|*|Xa|+1/2|OC|*|Xb)
=1/2*1/2*(|Xa|+|Xb|)
因为x1x2=-3|Xa|+|Xb|=|x1-x2|
故有:S(ABC)=1/4|x1-x2|=1/4*根号(4k^2+12)=1/2根号(k^2+3)
当k=0时,即AB平行于X轴时,三角形OAB面积最小,是:1/2*根号3.
是不是要求面积的最小值?