已知:偶函数f(x)在(0,+∞)上是增函数,判断f(x)在(-∞,0)上的单调性,并证明你的结论.

问题描述:

已知:偶函数f(x)在(0,+∞)上是增函数,判断f(x)在(-∞,0)上的单调性,并证明你的结论.

因为偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反;
且f(x)在(0,+∞)上是增函数,
故f(x)在(-∞,0)是减函数.
证明如下:若-∞<x1<x2<0,那么0<-x2<-x1<+∞.
由于偶函数在(0,+∞)上是增函数,故有:f(-x2)<f(-x1
又根据偶函数的性质可得:f(-x1)=f(x1),f(-x2)=f(x2
综上可得:f(x1)>f(x2
故f(x)在(-∞,0)上是减函数