如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=3，cosA=4/5．（1）求AC，AB的长度；（2）在直线AC上是否存在点M，使得以线段BM为直径的圆与边AB交于P点（与点B不同），且以点P、A、C为顶点的三角形是等腰三

分类: 作业答案 • 2022-06-03 19:29:45

问题描述：

如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=3，cosA=

．

（1）求AC，AB的长度；
（2）在直线AC上是否存在点M，使得以线段BM为直径的圆与边AB交于P点（与点B不同），且以点P、A、C为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出CM的长；若不存在，请说明理由．

答

（1）在△ABC中，∵∠C=90°，
∴cosA=

．
设AC=4x，则AB=5x，
由勾股定理，得BC=

AB2−AC2

=3x，
∵BC=3，∴3x=3，∴x=1，
∴AC=4x=4，AB=5x=5；

（2）存在；
如图，∵△APC是等于三角形，
∴AP=PC，
∴∠A=∠PCA，
∵∠ACP=∠PBM，
∴∠A=∠ABM，
∴AM=BM，
∵BM是直径，
∴MP⊥AB，
∴AP=PB=

AB=

，
∵∠APM=∠ACB=90°，∠PAM=∠CAB，
∴△APM∽△ACB，
∴AM：AB=AP：AC，
即

，
∴AM=

，
∴CM=AC-AM=4-

；

如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=3，cosA=4/5． （1）求AC，AB的长度； （2）在直线AC上是否存在点M，使得以线段BM为直径的圆与边AB交于P点（与点B不同），且以点P、A、C为顶点的三角形是等腰三