用隐函数求导法则对x^y=y^x求导为什么会得出x^2=y^2
问题描述：
用隐函数求导法则对x^y=y^x求导为什么会得出x^2=y^2
x^y=y^x
用隐函数求导法则
yx^(y-1)y'=xy^(x-1)y'
y'消掉后有
yx^(y-1)=xy^(x-1)
x^(y-2)=y^(x-2)
x^y/x^2=y^x=y^2
因为x^y=y^x
所以x^2=y^2
为什么结果会这样呢?
这种问题是必须取对数才能做吗?
答
这里,你的等式
yx^(y-1)y' = xy^(x-1)y'
是错的.因为
x^y = y^x
两边都是幂指函数,求导数有两种方法：
1）用对数求导法,即改写成
ylnx = xlny,
再求导……；
2）改写成
e^ylnx = e^xlny,
再求导…….幂指函数不能用一般的求导方法吗？隐函数求导也不适用吗？ 当然。
(x^a)' = ax^(a-1)
仅当 a 是常数时才成立，可是这里的x^y 中的 y=y(x)，明显的，你用错了。