抛物线y=a(x+1)(x-5)与x轴的交点为M、N,直线y=kx+b与x轴交于P(-2,0).与y轴交于C,若A,B两点在直线y=kx+b上,且AO=BO=√2,AO⊥BO,D为线段MN的中点,OH为Rt△OPC斜边上的高.
问题描述：
抛物线y=a(x+1)(x-5)与x轴的交点为M、N,直线y=kx+b与x轴交于P(-2,0).与y轴交于C,若A,B两点在直线y=kx+b上,且AO=BO=√2,AO⊥BO,D为线段MN的中点,OH为Rt△OPC斜边上的高.
(1) OH的长度等于多少,k等于多少,b等于多少
(2) 是否存在实数a,使得抛物线y=a(x+1)(x-5)上有一点E,满足D、N、E为顶点的三角形与△AOB相似?若不存在,说明理由,若存在,求符合条件的抛物线的解析式,同时探索所求得的抛物线上是否还有符合条件的E点(简要说明理由),并进一步探索对符合条件的每一个E点,直线NE与直线AB的交点G是否满足PB•PG
答
1.RT△AOB中,√2OH=AO,OH=1
将P点带入直线,0=-2K+b
原点到直线的距离公式,OH=b/根号k²+1 ,根号下k²+1=b,
k=√3/3,k=-√3/3（舍去）,b=2√3/3
2.M(-1,0),N(5,0),D(2,0),|DN|=3,
第①情况,作DG⊥x轴,交抛物线E,若△EDN与△AOB形似,则DN=DE.
将x=2带入抛物线,3=a(2+1)(2-5),解得a=-1/3.
抛物线方程y=-1/3(x+1)(x-5).
第②情况,过D作倾角45°的直线,直线方程为y=x-2；过N作倾角为135°的直线,直线方程y=5-x,两条直线的交点E(3.5,1.5),若△EDN与△AOB形似,则E点必在抛物线上,将E带入抛物线,1.5=a(3.5+1)(3.5-5),解得a=-2/9.
抛物线方程y=-2/9(x+1)(x-5).