如图,在△ABC中,∠A=50°,AB>AC,D、E分别在AB、AC上,且BD=CE,BE、CD相交于O点,∠BCD=∠EBC,M为BE上一点,∠OCM=∠OBD. (1)求证:CM=CE; (2)求∠BOC的度数.

问题描述:

如图,在△ABC中,∠A=50°,AB>AC,D、E分别在AB、AC上,且BD=CE,BE、CD相交于O点,∠BCD=∠EBC,M为BE上一点,∠OCM=∠OBD.  

(1)求证:CM=CE;
(2)求∠BOC的度数.

(1)证明:∵∠BCD=∠EBC,∠OCM=∠OBD,
∴∠BCD+∠OCM=∠EBC+∠OBD,
即∠BCM=∠CBD,
在△BCM和△CBD中,

∠BCM=∠CBD
BC=BC
∠BCD=∠EBC

∴△BCM≌△CBD(ASA),
∴BD=CM,
∵BD=CE,
∴CM=CE;
(2)设∠ABE=x,∠EBC=y,
∵∠A=50°,
∴∠CEM=∠ABE+∠A=x+50°,
∴∠ECM=180°-2∠CEM=180°-2(x+50°)=80°-2x,
∵∠BCM=∠CBD=x+y,
∴在△ABC中,∠A+∠CBD+∠BCE=180°,
即50°+(x+y)+(x+y+80°-2x)=180°,
整理得,2y=50°,
解得y=25°,
在△OBC中,∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB=180°-25°-25°=130°.