微分方程f(x)=e^x+∫(0,x)(t-x)f(t)dt,f(x)=c1cosx+c2sinx+1/2e^x,求c1,c2
问题描述:
微分方程f(x)=e^x+∫(0,x)(t-x)f(t)dt,f(x)=c1cosx+c2sinx+1/2e^x,求c1,c2
答
∵f(x)=e^x+∫(0,x)(t-x)f(t)dt
=e^x+∫(0,x)tf(t)dt-x∫(0,x)f(t)dt
∴f'(x)=e^x+xf(x)-∫(0,x)f(t)dt-xf(x)
=e^x-∫(0,x)f(t)dt
故f(0)=f'(0)=1.(1)
∵f(x)=c1cosx+c2sinx+1/2e^x ==>f'(x)=-c1sinx+c2cosx+1/2e^x
代入条件(1),得c1+1/2=1,c2+1/2=1
∴c1=c2=1/2.