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已知连续函数f（x）满足条件f（x）=∫3x0f(t/3)dt+e2x，求f（x）．

分类: 作业答案 • 2023-01-03 06:09:43
问题描述：

已知连续函数f（x）满足条件f（x）=

∫ 3x0
f(
t
3
)dt+e2x，求f（x）．

答

方程f（x）=

∫ 3x0
f(
t
3
)dt+e2x 两边同时对 x 求导，可得
f′（x）=3f（x）+2e2x，
即 f′（x）-3f（x）=2e2x．
因为一阶微分方程 y′+P（x）y=Q（x） 的通解公式为
y=e-∫p（x）dx（∫Q（x）e∫p（x）dxdx+C），
故
f（x）=e∫3dx（∫2e2xe∫-3dxdx+C）
=e3x（∫2e-xdx+C）
=e3x（-2e-x+C）
=Ce3x-2e2x．
因为 f（0）=e0=1，代入可得 C=3．
故
f（x）=3e3x-2e2x．

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