△ABC中∠C=30°,O是外心,I是内心,边AC上的D点与边BC上的E点使得AD=BE=AB.求证:OI丄DE,OI=DE.

问题描述:

△ABC中∠C=30°,O是外心,I是内心,边AC上的D点与边BC上的E点使得AD=BE=AB.求证:OI丄DE,OI=DE.

证明:如图所示,作∠DAO平分线交BC于K.易证△AID≌△AIB≌△EIB,∠AID=∠AIB=∠EIB.利用内心张角公式,有∠AIB=90°+12∠C=105°,∴∠DIE=360°-105°×3=45°.∵∠AKB=30°+12∠DAO=30°+12(∠BAC-∠BAO)=3...