f(x)在[0,1]连续,在(0,1)可导,且f(1)=0.求证:对所有n属于N,都存在a∈(0,1),使得:nf(a)+af'(a)=0
问题描述:
f(x)在[0,1]连续,在(0,1)可导,且f(1)=0.求证:对所有n属于N,都存在a∈(0,1),使得:nf(a)+af'(a)=0
答
设F(x)=(x^n)*f(x),其中n为任意自然数.显然F(x)在闭区间0~1连续,开区间0~1可导,则F'(x)=n*x^(n-1)*f(x)+x^n*f'(x).因为F(0)=F(1)=0,F(x)在闭区间0~1连续,开区间0~1可导.由罗尔定理,必存在ξ属于开区间0~1,使得F'(ξ)...