关于抛物线 焦点 三角形内心
关于抛物线 焦点 三角形内心
已知抛物线y²=4x,焦点F（1,0）,及另一点N（0,1）,一条直线l交抛物线与两点R,Q
(1)是否存在这样的直线l,使得F是三角形NRQ的内心?若存在,求l的解析式,若不存在,请证明
(2)是否存在这样的直线l,使得F是三角形NRQ的旁心?若存在,求l的解析式,若不存在,请证明
注：如果用同一种方法,两问可以一起做,写清楚即可
NF:y-1=-x 倾角135
Rx>Qx
NR y-1=kx 倾角a
NQ:y-1=k'x=x/k 倾角b a-135=135-b a+b=270 tanb=cota
y^2=4x y^2=4x
y-1=kx y-1=x/k
(kx+1)^2-4x=0 (x/k+1)^2-4x=0
k^2x^2+(2k-4)x+1=0 x^2/k^2+(2/k-4)x+1=0
Rx=[(2-k)-2√(1-k)]/k^2 Qx=[(2-1/k)-2√(1-1/k)]k^2
Ry=[(2-k)-2√(1-k)]/k+1 Qy=[(2-1/k)-2√(1-1/k)]k+1
NR：y-1=kx
QF直线:y=[Qy/(Qx-1)](x-1)
QF交NR于M
[Qy/(Qx-1)](x-1)=kx+1
[Qy/(Qx-1) -k]x=Qy/(Qx-1) +1
Mx=(Qy+Qx-1)/(Qy-kQx+k)=(Qx/k+Qx-1)/(Qx/k-kQx+k)
My=k(Qy+Qx-1)/(Qy-kQx+k)+1
NM^2=(k^2+1)Mx^2
NQ^2=(1+1/k^2)Qx^2
FM^2=(Mx-1)^2+My^2
QM^2=(Qx-1)^2+Qy^2
NM/NQ=FM/QM
(k^2+1)/(1+1/k^2)=[(Mx-1)^2+My^2] /[(Qx-1)^2+Qy^2]
[(Mx-1)^2+(kMx+1)^2](1+1/k^2)=[(Qx-1)^2+(Qx/k+1)^2](1+k^2)
[(k^2+1)Mx^2+(2k-2)Mx+2](1+1/k^2)=[(1+1/k^2)Qx^2+(2/k-2)Qx+2](1+k^2)
(1+1/k^2)Mx^2+(2/k-2/k^2)Mx+2/k^2=(1+1/k^2)Qx^2+(2/k-2)Qx+2
(1+1/k^2)[(Qx/k+Qx-1)/(Qx/k-kQx+k)]^2 +(2/k-2/k^2)(Qx/k+Qx-1)/(Qx/k-kQx+k)+2/k^2
=(1+1/k^2)Qx^2+(2/k-2)Qx+2
其中Qx=[(2-1/k)-2√(1-1/k)]k^2
k无解,因此不存在这样的直线