已知关于x的一元二次方程ax^2+bx+c=0(a不＝0)的两根之比为2:1,求证2b^2=9ac
问题描述：
已知关于x的一元二次方程ax^2+bx+c=0(a不＝0)的两根之比为2:1,求证2b^2=9ac
实在是搞不懂-- 麻烦 给解释下每步 或者其他方法
由韦达定理得:x1+x2=-b/a 1式
x1*x2=c/a 2式
所以(x1+x2)^2=x1^2+2x1x2+x2^2=b^2/a^2 3式 —————— 为什么要把x1+x2平方用3式除以1式,得————————为撒要除以呢
x1/x2+2+x2/x1=b^2/ac 4式
又因为x1/x2=2,代入4式:
2+2+1/2=b^2/ac
整理得2b^2=9ac
得证
答
(x1+x2)^2=x1^2+2x1x2+x2^2=b^2/a^2 3式这个只是恒等变形,变出x1^2+2x1x2+x2^2这个来,方便后面凑出题意里面的两根之比为2
用这个式子x1^2+2x1x2+x2^2=b^2/a^2除以2式,注意你写错了,不是除以1式
这样就可以变出x1/x2来了,这样才能利用已知条件.
这个除以2式之后得到：
x1/x2+2+x2/x1=b^2/ac
注意看这个式子无论是x1/x2=2还是x2/x1=2带进去都是一样的
这样把已知条件带入就可以了.
解题的过程就是要通过变形变出已知条件里面的式子,这样才能利用已知条件.
这个题目我想通过直接求根来讨论计算也是可以求出来的
只不过过程很复杂,计算量太大.
所以还是要掌握这样的巧解.