如图1,已知直线y=-2x+4与两坐标轴分别交于点A、B,点C为线段OA上一动点,连接BC,作BC的中垂线分别交OB、AB交于点D、E. (l)当点C与点O重合时,DE=_; (2)当CE∥OB时,证明此时四边形BDCE

问题描述:

如图1,已知直线y=-2x+4与两坐标轴分别交于点A、B,点C为线段OA上一动点,连接BC,作BC的中垂线分别交OB、AB交于点D、E.
(l)当点C与点O重合时,DE=______;
(2)当CE∥OB时,证明此时四边形BDCE为菱形;
(3)在点C的运动过程中,直接写出OD的取值范围.

∵直线AB的解析式为y=-2x+4,
∴点A的坐标为(2,0),点B的坐标为(0,4),即可得OB=4,OA=2,
(1)当点C与点O重合时如图所示,

∵DE垂直平分BC(BO),
∴DE是△BOA的中位线,
∴DE=

1
2
OA=1;
(2)当CE∥OB时,如图所示:

∵DE为BC的中垂线,
∴BD=CD,EB=EC,
∴∠DBC=∠DCB,∠EBC=∠ECB,
∴∠DCE=∠DBE,
∵CE∥OB,
∴∠CEA=∠DBE,
∴∠CEA=∠DCE,
∴BE∥DC,
∴四边形BDCE为平行四边形,
又∵BD=CD,
∴四边形BDCE为菱形.
(3)当点C与点O重合时,OD取得最大值,此时OD=
1
2
OB=2;
当点C与点A重合时,OD取得最小值,如图所示:

在Rt△AOB中,AB=
OA2+OB2
=2
5

∵DE垂直平分BC(BA),
∴BE=
1
2
BA=
5

易证△BDE∽△BAO,
BE
BO
=
BD
AB
,即
5
4
=
BD
2
5

解得:BD=
5
2

则OD=OB-BD=4-
5
2
=
3
2

综上可得:
3
2
≤OD≤2.