如图,已知△AOB中,∠AOB=90°,OD⊥AB于点D.以点O为圆心,OD为半径的圆交OA于点E,在BA上截取BC=OB,求证:CE是⊙O的切线.

问题描述:

如图,已知△AOB中,∠AOB=90°,OD⊥AB于点D.以点O为圆心,OD为半径的圆交OA于点E,在BA上截取BC=OB,求证:CE是⊙O的切线.

证明:连接CO,
∵BC=OB,
∴∠1=∠2,
∵∠AOB=90°,
∴∠2+∠4=90°,
∵OD⊥AB,
∴∠1+∠3=90°,
∴∠3=∠4,
在△CEO和△CDO中

EO=DO
∠3=∠4
CO=CO

∴△CEO≌△CDO(SAS),
∴∠CEO=∠CDO=90°,
∴CE是⊙O的切线.