已知xcosx是f(x)的一个原函数,求∫xf’(x)dx
问题描述：
已知xcosx是f(x)的一个原函数,求∫xf’(x)dx
答
xcosx是f(x)的一个原函数,
那么f(x)=(x*cosx)'= cosx -x*sinx,
故由分部积分法可以知道
∫xf '(x)dx
=∫ x d[f(x)]
= x*f(x) - ∫ f(x)dx
= x*f(x) - ∫ (cosx -x*sinx) dx
= x*f(x) - sinx + ∫ x*sinx dx
= x*f(x) - sinx - ∫ x d(cosx)
= x*f(x) - sinx - x *cosx +∫ cosx dx
= x*f(x) - sinx - x *cosx +sinx +C (C为常数)
= x*(cosx -x*sinx) - x *cosx +C (C为常数)
= -x² *sinx +C (C为常数)