已知△ABC中,AC=BC,AD平分∠BAC交BC于D,点E为AB上一点,且∠EDB=∠B,现有下列两个结论:①AB=AD+CD ②AB=AC+CD. (1)如图1,若∠C=90°,则结论_成立,并证明你的结论. (2)如图2,若∠C=10

问题描述:

已知△ABC中,AC=BC,AD平分∠BAC交BC于D,点E为AB上一点,且∠EDB=∠B,现有下列两个结论:①AB=AD+CD ②AB=AC+CD.

(1)如图1,若∠C=90°,则结论______成立,并证明你的结论.
(2)如图2,若∠C=100°,则结论______成立,并证明你的结论.

(1)∵∠C=90°,AC=BC,
∴∠B=45°,
∵∠EDB=∠B,
∴∠DEB=90°,BE=DE,
∴DE⊥AB,
∵AD平分∠BAC,
∴DE=DC,
在Rt△ACD和Rt△AED中

AD=AD
DC=DE

∴Rt△ACD≌Rt△AED(HL),
∴AC=AE,
∴AB=AE+BE=AC+CD,所以②正确;
(2)∵∠C=100°,AC=BC,
∴∠B=∠CAB=40°,
∵∠EDB=∠B,
∴∠DEB=100°,BE=DE,
∴∠AED=80°,
∵AD平分∠BAC,
∴∠DAE=20°,
∴∠ADE=180°-80°-20°=80°,
∴AD=AE,
过点D作DF⊥AC于点F,作DH⊥AB于点H,
∴DF=DH,
易得△CDF≌△EDH,
∴CD=DE,
∴CD=BE,
∴AB=AE+BE=AD+CD,所以①正确.
故答案为②;①.