数学课上,张老师出示了问题:如图1,四边形ABCD是正方形,点E是边BC的中点.∠AEF=90°,且EF交正方形外角∠DCG的平分线CF于点F,求证:AE=EF.经过思考,小明展示了一种正确的解题思路:取AB的中点M,连接ME,则AM=EC,易证△AME≌△ECF,所以AE=EF.在此基础上,同学们作了进一步的研究:(1)小颖提出:如图2,如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上(除B,C外)的任意一点”,其它条件不变,那么结论“AE=EF”仍然成立,你认为小颖的观点正确吗?如果正确,写出证明过程;如果不正确,请说明理由;(2)小华提出:如图3,点E是BC的延长线上(除C点外)的任意一点,其他条件不变,结论“AE=EF”仍然成立.你认为小华的观点正确吗?如果正确,写出证明过程;如果不正确,请说明理由.

问题描述:

数学课上,张老师出示了问题:如图1,四边形ABCD是正方形,点E是边BC的中点.∠AEF=90°,且EF交正方形外角∠DCG的平分线CF于点F,求证:AE=EF.
作业帮
经过思考,小明展示了一种正确的解题思路:取AB的中点M,连接ME,则AM=EC,易证△AME≌△ECF,所以AE=EF.
在此基础上,同学们作了进一步的研究:
(1)小颖提出:如图2,如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上(除B,C外)的任意一点”,其它条件不变,那么结论“AE=EF”仍然成立,你认为小颖的观点正确吗?如果正确,写出证明过程;如果不正确,请说明理由;
(2)小华提出:如图3,点E是BC的延长线上(除C点外)的任意一点,其他条件不变,结论“AE=EF”仍然成立.你认为小华的观点正确吗?如果正确,写出证明过程;如果不正确,请说明理由.

作业帮 (1)正确.
证明:在AB上取一点M,使AM=EC,连接ME.
∴BM=BE,
∴∠BME=45°,
∴∠AME=135°,
∵CF是外角平分线,
∴∠DCF=45°,
∴∠ECF=135°,
∴∠AME=∠ECF,
∵∠AEB+∠BAE=90°,∠AEB+∠CEF=90°,
∴∠BAE=∠CEF,
∴△AME≌△ECF(ASA),
∴AE=EF.
(2)正确.
证明:在BA的延长线上取一点N.
使AN=CE,连接NE.作业帮
∴BN=BE,
∴∠N=∠NEC=45°,
∵CF平分∠DCG,
∴∠FCE=45°,
∴∠N=∠ECF,
∵四边形ABCD是正方形,
∴AD∥BE,
∴∠DAE=∠BEA,
即∠DAE+90°=∠BEA+90°,
∴∠NAE=∠CEF,
∴△ANE≌△ECF(ASA),
∴AE=EF.
答案解析:(1)在AB上取一点M,使AM=EC,连接ME,根据已知条件利用ASA判定△AME≌△ECF,因为全等三角形的对应边相等,所以AE=EF.
(2)在BA的延长线上取一点N,使AN=CE,连接NE,根据已知利用ASA判定△ANE≌△ECF,因为全等三角形的对应边相等,所以AE=EF.
考试点:正方形的性质;全等三角形的判定与性质;角平分线的性质.


知识点:此题主要考查学生对正方形的性质,角平分线的性质及全等三角形的判定方法的掌握情况.