如图甲,在△ABC中,∠ACB为锐角,点D为射线BC上一动点,连接AD,以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF.解答下列问题:(1)如果AB=AC,∠BAC=90°,①当点D在线段BC上时(与点B不重合),如图乙,线段CF、BD之间的位置关系为______,数量关系为______.②当点D在线段BC的延长线上时,如图丙,①中的结论是否仍然成立,为什么?(2)如果AB≠AC,∠BAC≠90°点D在线段BC上运动.试探究:当△ABC满足一个什么条件时,CF⊥BC(点C、F重合除外)?并说明理由.

问题描述:

如图甲,在△ABC中,∠ACB为锐角,点D为射线BC上一动点,连接AD,以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF.解答下列问题:

(1)如果AB=AC,∠BAC=90°,
①当点D在线段BC上时(与点B不重合),如图乙,线段CF、BD之间的位置关系为______,数量关系为______.
②当点D在线段BC的延长线上时,如图丙,①中的结论是否仍然成立,为什么?
(2)如果AB≠AC,∠BAC≠90°点D在线段BC上运动.试探究:当△ABC满足一个什么条件时,CF⊥BC(点C、F重合除外)?并说明理由.

(1)①CF⊥BD,CF=BD …(2分)
故答案为:垂直、相等.
②成立,理由如下:…(3分)
∵∠FAD=∠BAC=90°
∴∠BAD=∠CAF
在△BAD与△CAF中,

BA=CA
∠BAD=∠CAF
AD=AF

∴△BAD≌△CAF(SAS)(5分)
∴CF=BD,∠ACF=∠ACB=45°,
∴∠BCF=90°
∴CF⊥BD …(7分)
(2)当∠ACB=45°时可得CF⊥BC,理由如下:…(8分)
过点A作AC的垂线与CB所在直线交于G      …(9分)
则∵∠ACB=45°
∴AG=AC,∠AGC=∠ACG=45°
∵AG=AC,AD=AF,
∵∠GAD=∠GAC-∠DAC=90°-∠DAC,∠FAC=∠FAD-∠DAC=90°-∠DAC,
∴∠GAD=∠FAC,
∴△GAD≌△CAF(SAS)    …(10分)
∴∠ACF=∠AGD=45°
∴∠GCF=∠GCA+∠ACF=90°
∴CF⊥BC           …(12分)
答案解析:(1)当点D在BC的延长线上时①的结论仍成立.由正方形ADEF的性质可推出△DAB≌△FAC,所以CF=BD,∠ACF=∠ABD.结合∠BAC=90°,AB=AC,得到∠BCF=∠ACB+∠ACF=90度.即CF⊥BD.
(2)当∠ACB=45°时,过点A作AG⊥AC交CB或CB的延长线于点G,则∠GAC=90°,可推出∠ACB=∠AGC,所以AC=AG,由(1)①可知CF⊥BD.
考试点:正方形的性质;全等三角形的判定与性质;等腰三角形的性质.

知识点:本题考查三角形全等的判定和直角三角形的判定,判定两个三角形全等的一般方法有:SSS、SAS、ASA、AAS、HL.判定两个三角形全等,先根据已知条件或求证的结论确定三角形,然后再根据三角形全等的判定方法,看缺什么条件,再去证什么条件.