如图,以菱形ABCD的边AB为直径的⊙O交对角线AC于点P,过P作PE⊥BC,垂足为E.(1)求证:PE是⊙O的切线;(2)若菱形ABCD的面积为24,tan∠PAB=34,求PE的长.

问题描述:

如图,以菱形ABCD的边AB为直径的⊙O交对角线AC于点P,过P作PE⊥BC,垂足为E.

(1)求证:PE是⊙O的切线;
(2)若菱形ABCD的面积为24,tan∠PAB=

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,求PE的长.

证明:(1)连接OP,
∵OA=OP,
∴∠OAP=∠APO.
∵菱形ABCD,
∴∠ACB=∠CAB.
∴∠APO=∠ACB.
∴PO∥BC.
∵PE⊥BC,
∴∠OPE=∠CEP=90°.
∴PE是⊙O的切线.

(2)连接PB,
∵菱形ABCD的面积为24,
∴△BPC的面积=6,∠PAB=∠PCB.
∵tan∠PAB=

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∴PB=3,PC=4,
∴BC=5,
∴PE=S△BPC×2÷BC=6×2÷5=2.4.
答案解析:(1)连接OP,只要证明OP⊥PE即可.本题可根据菱形的性质可证得∠OPE=90°.
(2)连接PB,根据菱形的性质及三角函数的知识即可得出PE的长.
考试点:切线的判定;菱形的性质.

知识点:本题考查了切线的判定,要证某线是圆的切线,已知此线过圆上某点,连接圆心与这点(即为半径),再证垂直即可.本题同时考查了菱形的性质及三角函数的知识.