如图,在平面直角坐标系中,矩形ABCO的面积为15,且OA=OC+2,E为BC的中点,以OE为直径的⊙O′交y轴于D点,过D作DF⊥AE于点F.(1)求OA、OC的长;(2)求证:DF为⊙O′的切线;(3)小亮在解答本题时,发现△AOE是等腰三角形,且△AOE的面积是四边形ABCO面积的一半.由此,他根据自己过去解题的实践断定:“直线BC上一定存在除点E以外的P点,使△AOP既是等腰三角形,又和△AOE的面积相等”.你同意他的断言吗?若同意,请你求出所有满足上述条件的点P的坐标,若不同意,请你说明理由.

问题描述:

如图,在平面直角坐标系中,矩形ABCO的面积为15,且OA=OC+2,E为BC的中点,以OE为直径的⊙O′交y轴于D点,过D作DF⊥AE于点F.
(1)求OA、OC的长;
(2)求证:DF为⊙O′的切线;
(3)小亮在解答本题时,发现△AOE是等腰三角形,且△AOE的面积是四边形ABCO面积的一半.由此,他根据自己过去解题的实践断定:“直线BC上一定存在除点E以外的P点,使△AOP既是等腰三角形,又和△AOE的面积相等”.你同意他的断言吗?若同意,请你求出所有满足上述条件的点P的坐标,若不同意,请你说明理由.

(1)∵OA•OC=15,OA=OC+2,∴OC(OC+2)=15,解得OC=3或OC=-5(负值舍去).∴OA=5,OC=3.(2)证明:∵OE为⊙O′的直径,交y轴于D点,∴∠ODE=90°.∵四边形ABCO是矩形,∴∠OAB=∠AOC=90°.∴DE∥AB∥OC.又...
答案解析:(1)根据矩形的面积和OA=OC+2,得到OC的方程,求得OC的长,进一步求得OA的长;
(2)连接O′D,DE.根据直径所对的圆周角是直角,得∠ODE=90°,则DE∥AB∥OC,根据平行线等分线段定理,得AD=OD.根据三角形的中位线定理,得O′D∥AE,结合DF⊥AE,得O′D⊥DF,则DF为⊙O′的切线;
(3)同意.分两种情况考虑:AO=AP或AO=OP.
考试点:切线的判定.


知识点:此题综合运用了一元二次方程的知识、平行线等分线段定理、三角形的中位线定理以及切线的判定定理.