双曲线方程为X^2-Y^2/2=1,问是否存在被点B(1,1)平分的弦?如果存在,求出该弦所在的方程

问题描述:

双曲线方程为X^2-Y^2/2=1,问是否存在被点B(1,1)平分的弦?如果存在,求出该弦所在的方程

假设存在,那么设弦AB被B平方,设A(X,Y)
那么B(2-X,2-Y);
由于AB都在双曲线上
则满足 X^2-Y^2/2=1(1式);(2-X)^2-(2-Y)^2/2=1
化简得到y-2x+1=0;
代入1式得到2x^2-4x+3=0;
戴尔他小于0,无解。
所以假设不成立,不存在。

假设存在,并设直线与椭圆交与M(x1,y1),N(x2,y2)
又因为B(1,1)
所以x1+x2=2,y1+y2=2
x1^2-y1^2/2=1.........(1)
x2^2-y2^2/2=1.........(2)
(1)-(2)得:(x1+x2)(x1-x2)+(y1+y2)(y1-y2)/2=1
即2(x1-x2)+2(y1-y2)/2=0
即2(x1-x2)+(y1-y2)=0
(y1-y2)/(x1-x2)=-1/2
直线斜率K=(y1-y2)/(x1-x2)=-1/2
所以直线方程为y-1=(-1/2)(x-1)
即x+2y-3=0是满足条件的弦所在的直线方程,存在!

一楼正解,二楼错了.注意:(1)-(2)得:(x1+x2)(x1-x2)+(y1+y2)(y1-y2)/2=1 即2(x1-x2)+2(y1-y2)/2=0这里错了,第一行=1应该是打错了,但那个式子也错了,应该是2(x1-x2)+2(y2-y1)/2=0所以(y1-y2)/(x1-x2)=2直线方程是y=2...