高一数学园与直线系方程 （高手请进）已知圆C过点M(4,-2)N(1,1)且圆心在直线x+y+1=0上 （1)求圆C的方程 (2)是否存在斜率为1的直线L,使L被圆C截得的弦AB为直径的原过原点?存在,求出直线L的方程

设C点坐标（a，b）（x-a）²+（y-b）²=r²
∴（4-a）²+（-2-b）²=（1-a）²+（1-b）²
且a+b+1=0
解得b=-2 a=1 r=3
设直线为y=x+m
联合圆方程
得：2x²+（2m+2）x-4+4m+m²=0 △＞0
x1+x2=-（2m+2）/2 x1x2=-4+4m+m²/2
因为AO⊥OB
所以x1x2+y1y2=0
化简2x1x2＋m（x1＋x2）＋m²＝0
将x1+x2 x1x2代入
求得M=1或-4

(1)线段MN中点（5/2,-1/2)，直线MN斜率-1
所以线段MN的垂直平分线方程为x-y-3=0
与直线x+y+1=0相交于点C（1，-2）
半径CN=3
圆C的方程为(x-1)^2+(y+2)^2=9
(2)设直线L：y=x+b，弦AB为直径的圆半径为r
C到直线L的距离d1=|3+b|/√2
原点到直线L的距离d2=r=|b|/√2
r^2=3^2-d1^2
解得b=(-3+3√3)/2或(-3-3√3)/2

我来试一试。。。
A,先求圆C。。。
1，设圆方程为(x-a)＾2 + (y-b)^2 = r^2
2,因为圆心在直线x+y+1=0上，所以a+b+1=0 , a = -b-1
3,则圆方程变为(x+b+1)＾2 + (y-b)^2 = r^2
4,因为圆过点M(4,-2)N(1,1)，代入这两个点，求出b,r
5，b = -2, r = 3 所以 a=-b-1 = 1
6,所以圆C方程为(x-1)^2 + (y+2)^2=9
B，求直线L
7,因为L斜率为1，正好和直线x + y + 1=0垂直，那么交点(m,n)到圆C圆心的距离z，就应该满足z^2+z^2=r^2
8,所以z^2=0.5*r^2 , z^2= (m-1)^2+(n+2)^2 = 0.5*r^2 = 0.5*3^2=9/2
9,因为m + n + 1 = 0,所以m=-n-1,带入上面的式子
10，可以求出2个交点，交点1(x1,y1)=(-1/2,-1/2)，交点2(x2,y2)=(5/2,-7/2)
11,设直线L方程为 x-y=t，代入2个交点求得2条直线
12，直线L1: x - y = 0, L2: x - y = 6
完。。。
结果我想应该没有什么问题吧。。。
思路是这样的，
希望对你有所帮助。
。。。
我大学已经毕业好几年了，
这高中的东西有10年没碰了，
做的有点乱，请谅解！
数学要学好，就得多练，多思考，
但还是忌讳题海战术啊，要扎实做好没一道，写清没一道的
做题步骤，
希望你能够取得好成绩！加油！！！

(1)先求过线段MN的中垂线
MN斜率k=-1;MN中点（5/2,-1/2）
则中垂线斜率为1
则中垂线方程为y+1/2=x-5/2
即：y=x-3-------①
中垂线与MN的交点即为圆心
求MN方程
y-1=-(x-1)
即：y=-x+2-------②
①②联立求交点
解得交点为 O（5/2，-1/2）
求半径 O与M点之间距离
r=3√2
则圆C的方程为：（x-5/2）^2+(y+1/2)=18
(2)不存在，你画一个图，把点都描出来就知道了，第二问要用图解法。没办法画图啊~~
之前我也解过这道题~~
不懂就Hi我，一直在线~~~

1.
圆心在MN的垂直平分线y=x-3上
解得圆心为(1,-2),半径为√（1-1）²＋（-2－1）²＝3
方程为（x－1）²＋（y＋2）²＝9
2.
设为y=x+b,A(x1,y1),B(x2,y2)
若以AB为直径的圆经过原点,则∠AOB=90°
即AO⊥OB
∴x1x2＋y1y2=0
y1＝x1＋b,y2＝x2＋b
y1y2＝（x1＋b）（x2＋b）＝x1x2＋b（x1＋x2）＋b²
所以可化为2x1x2＋b（x1＋x2）＋b²＝0……*
把直线方程代入圆方程可得：
2x²＋2（b＋1）x＋b²＋4b－4＝0
x1＋x2＝－（b＋1）,x1x2＝（b²＋4b－4）／2
代入*式化简得：
b²＋3b－4＝0
b＝1或b＝-4
均能使判别式大于0
所以所求直线为
y=x+1或y=x-4