已知四棱锥S-ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，侧面SAB是等边三角形，侧面SCD是以CD为斜边的直角三角形，E为CD的中点，M为SB的中点．（1）求证：CM∥平面SAE；（2）求证：SE⊥平面SAB；（3）求三棱锥S-AED的体积．

答

（1）取SA的中点N，连接MN，EN∵M为SB的中点，N为SA的中点，∴MN∥AB，且MN=12AB，又E是CD的中点，∴CE∥AB，且CE=12AB，∴MN∥CE，且MN=CE，∴四边形CENM为平行四边形，∴CM∥EN，又EN⊂平面SAE，CM⊄平面SAE，∴CM...
答案解析：（1）取SA的中点N，连接MN．△ASB中利用中位线定理，证出MN∥AB且MN=

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2

AB，而正方形ABCD中E为CD中点，可得CE∥AB且CE=

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2

AB，从而得到CENM为平行四边形，得CM∥EN．最后用线面平行的判定定理，即可证出CM∥平面SAE；
（2）Rt△SCD中，E为斜边中点，可得SE=

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2

CD=1．△ESA中算出SE²+SA²=5=AE²，从而得到ES⊥SA，同理△ESB中证出ES⊥SB，结合SA、SB是平面SAB内的相交直线，可证出SE⊥平面SAB．
（3）根据正方形的性质可得S_△AED=

1

2

S_△ABE，从而得到V_S-AED=

1

2

V_S-AEB=

1

2

V_E-SAB，由（2）得SE是三棱锥E-SAB的高，从而算出V_E-SAB=

3

3

，由此即可得到V_S-AED=

1

2

V_E-SAB=

3

6

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考试点：直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定．
知识点：本题在四棱锥中证明线面平行、线面垂直，并求三棱锥的体积．着重考查了空间直线与平面平行的判定定理、直线与平面垂直的判定定理和锥体体积公式等知识，属于中档题．