在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知b（cosA-2cosC）=（2c-a）cosB．（Ⅰ）求ca的值；（Ⅱ）若cosB=14，△ABC的周长为5，求b．
问题描述：
在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知b（cosA-2cosC）=（2c-a）cosB．
（Ⅰ）求
的值；c a
（Ⅱ）若cosB=
，△ABC的周长为5，求b． 1 4
答
（Ⅰ）在△ABC中，有
=a sinA
=b sinB
=2R，c sinC
又b（cosA-2cosC）=（2c-a）cosB，
∴sinB（cosA-2cosC）=（2sinC-sinA）cosB，即sinBcosA-2sinBcosC=2sinCcosB-sinAcosB，
∴sin（A+B）=2sin（B+C），即sinC=2sinA，
则c=2a，即
=2；c a
（Ⅱ）由（Ⅰ）∵c=2a，a+b+c=5，
∴b=5-（a+c）=5-3a，
由余弦定理得：b2=c2+a2-2accosB，
∴（5-3a）2=（2a）2+a2-4a2×
，1 4
解得：a=1或a=5，
当a=1时，b=2；当a=5时，与a+b+c=5矛盾，
则b=2．
答案解析：（Ⅰ）已知等式利用正弦定理化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，再利用正弦定理化简即可求出所求式子的值；
（Ⅱ）由第一问c=2a，代入a+b+c=5中，表示出b，利用余弦定理列出关系式，将表示出的b，c以及cosB代入求出a的值，即可确定出b的值．
考试点：余弦定理；三角函数中的恒等变换应用；正弦定理．
知识点：此题考查了正弦、余弦定理，以及三角形的恒等变换应用，熟练掌握定理是解本题的关键．