在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，已知a2+c2=2b2．（Ⅰ）若B＝π4，且A为钝角，求内角A与C的大小；（Ⅱ）求sinB的最大值．
问题描述：
在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，已知a2+c2=2b2．
（Ⅰ）若B＝
，且A为钝角，求内角A与C的大小；π 4
（Ⅱ）求sinB的最大值．
答
（Ⅰ）由题设及正弦定理，有sin2A+sin2C=2sin2B=1．
故sin2C=cos2A．因为A为钝角，所以sinC=-cosA．
由cosA＝cos(π−
−C)，可得sinC＝sin(π 4
−C)，得C＝π 4
，A＝π 8
．5π 8
（Ⅱ）由余弦定理及条件b2＝
(a2+c2)，有cosB＝1 2
，
a2+c2−b2
4ac
因a2+c2≥2ac，
所以cosB≥
．1 2
故sinB≤
，
3
2
当a=c时，等号成立．从而，sinB的最大值为
．
3
2
答案解析：（Ⅰ）利用正弦定理把题设等式中的边转化成角的正弦，化简整理求得sinC=-cosA．进而求得C和A的值．
（Ⅱ）由余弦定理求得b的表达式，根据基本不等式求得cosB的范围，进而求得sinB的大值．
考试点：余弦定理；正弦定理．
知识点：本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用．考查了三角函数与不等式基础知识的结合．