如图，BD是⊙O的直径，OA⊥OB，M是劣弧AB上一点，过点M作⊙O的切线MP交OA的延长线于P点，MD与OA交于N点．（1）求证：PM=PN；（2）若BD=4，PA=32AO，过点B作BC∥MP交⊙O于C点，求BC的长．
问题描述：
如图，BD是⊙O的直径，OA⊥OB，M是劣弧
上一点，过点M作⊙O的切线MP交OA的延长线于P点，MD与OA交于N点．
AB 
（1）求证：PM=PN；
（2）若BD=4，PA=
AO，过点B作BC∥MP交⊙O于C点，求BC的长． 3 2
答
（1）证明：连接OM，∵MP是圆的切线，∴OM⊥PM，∴∠OMD+∠DMP=90°，∵OA⊥OB，∴∠OND+∠ODM=90°，∵∠MNP=∠OND，∠ODM=∠OMD，∴∠DMP=∠MNP，∴PM=PN．（2）设BC交OM于E，∵BD=4，OA=OB=12BD=2，∴PA=3，∴PO=...
答案解析：（1）连接OM，MP是圆的切线，OM⊥PM，由角的等量关系可证∠DMP=∠MNP，由此得证．
（2）设BC交OM于E，已知直径BD的长，即可得到半径OA、OM的长，根据PA、OA的比例关系，可求出PA、PO的长，通过证△POM∽△OBE，根据相似三角形所得比例线段即可求出BE的长，从而根据垂径定理求出BC的值．
考试点：切线的性质；垂径定理；相似三角形的判定与性质．
知识点：本题主要考查切线的性质和相似三角形的有关知识，题不是很难，做题要细心．