已知平面α的距离分别为1和2,A,B两点在平面α内的射影之间的距离为√3,求直线AB和平面α所成的角两种情况,

设A、B两点在平面α内的射影分别为A'、B'，直线AB交平面α于点O。
则有：AA' = 1 ，BB' = 2 ，A'B' = √3 ，∠AOA' 就是直线AB和平面α所成的角；
因为，在△AOA'和△BOB'中，∠AOA' = ∠BOB' ，∠AA'O = 90°= ∠BB'O ，
所以，△AOA' ∽ △BOB' ，可得：OA'/OB' = AA'/BB' = 1/2 ；
分两种情况讨论：
①
若A、B两点在平面α的同侧，则点O在线段B'A'的延长线上，
可得：OA'/A'B' = OA'/(OB'-OA') = 1/(2-1) = 1 ，
则有：OA' = A'B' = √3 ，
因为，tan∠AOA' = AA'/OA' = √3/3 ，
所以，∠AOA' = 30°；
②
若A、B两点在平面α的两侧，则点O在线段A'B'上，
可得：OA'/A'B' = OA'/(OA'+OB') = 1/(1+2) = 1/3 ，
则有：OA' = A'B'/3 = √3/3 ，
因为，tan∠AOA' = AA'/OA' = √3 ，
所以，∠AOA' = 60°；
综上可得：
直线AB和平面α所成的角为 30°或 60°。

设A、B两点在平面α内的射影分别为A'、B',直线AB交平面α于点O.
则有：AA' = 1 ,BB' = 2 ,A'B' = √3 ,∠AOA' 就是直线AB和平面α所成的角；
因为,在△AOA'和△BOB'中,∠AOA' = ∠BOB' ,∠AA'O = 90°= ∠BB'O ,
所以,△AOA' ∽ △BOB' ,可得：OA'/OB' = AA'/BB' = 1/2 ；
分两种情况讨论：
①
若A、B两点在平面α的同侧,则点O在线段B'A'的延长线上,
可得：OA'/A'B' = OA'/(OB'-OA') = 1/(2-1) = 1 ,
则有：OA' = A'B' = √3 ,
因为,tan∠AOA' = AA'/OA' = √3/3 ,
所以,∠AOA' = 30°；
②
若A、B两点在平面α的两侧,则点O在线段A'B'上,
可得：OA'/A'B' = OA'/(OA'+OB') = 1/(1+2) = 1/3 ,
则有：OA' = A'B'/3 = √3/3 ,
因为,tan∠AOA' = AA'/OA' = √3 ,
所以,∠AOA' = 60°；
综上可得：
直线AB和平面α所成的角为 30°或 60°.