已知点P在曲线y=4/(e的x次方+1)上,a为曲线在点P出的切线的倾斜角,则a的取值范围.我算到y’=-4e的x次方/(e的x次方+1)^2.不知道怎么算了……
问题描述:
已知点P在曲线y=4/(e的x次方+1)上,a为曲线在点P出的切线的倾斜角,则a的取值范围.
我算到y’=-4e的x次方/(e的x次方+1)^2.不知道怎么算了……
答
y’=-4e的x次方/(e的x次方+1)^2. 设p坐标(x,4/(e^x+1)
a为曲线在点P出的切线的倾斜角
tana=-4e^x/(e^x+1)^2
设e^x+1=t,t取值范围为(1,+无穷)
tana=(-4t+4)/t^2=-4/t+4/t^2
dy/dt=4/t^2-8/t^3=1/t^2(1-2/t)
当t>2时dy/dt>0,为单调增
t<2时dy/dt<0为单调减,
t=2时y有极小值-1,
limt→无穷(-4/t+4/t^2)=0
limt→1(-4/t+4/t^2)=0
因此y的值域为[-1,0)
即-1≤tana<0
a的取值范围-π/4≤a<0