对于定义在集合D上的函数y=f(x),若f(x)在D上具有单调性,且存在区间[a,b]⊆D,使当x∈[a,b]时,f(x)的值域是[a,b],则称函数f(x)是D上的正函数,区间[a,b]称为f(x)的“等域区间”.已知函数f(x)=x是[0,+∞)上的正函数,则f(x)的等域区间为 ___ .

问题描述:

对于定义在集合D上的函数y=f(x),若f(x)在D上具有单调性,且存在区间[a,b]⊆D,使当x∈[a,b]时,f(x)的值域是[a,b],则称函数f(x)是D上的正函数,区间[a,b]称为f(x)的“等域区间”.已知函数f(x)=

x
是[0,+∞)上的正函数,则f(x)的等域区间为 ___ .

因为f(x)=

x
在[0,+∞)上是增函数,
所以当x∈[a,b],f(x)的值域是[f(a),f(b)],
又f(x)=
x
是[0,+∞)上的正函数,
f(a)=a
f(b)=b
b>a≥0
,即
a
=a
b
=b
b>a≥0

解得a=0,b=1,
∴f(x)的等域区间为[0,1].
故答案为:[0,1].
答案解析:因为f(x)=
x
在[0,+∞)上是增函数,所以当x∈[a,b],f(x)的值域是[f(a),f(b)],由此能求出f(x)的等域区间.
考试点:["函数单调性的性质"]
知识点:本题考查函数恒成立的应用,考查运算求解能力,推理论证能力;考查化归与转化思想.对数学思维的要求比较高,有一定的探索性.综合性强,有一定难度,是高考的重点.