在△ABC中，a，b，c分别是角A、B、C的对边，若a=1，且2cosC+c=2b，则△ABC的周长的取值范围是（ ）A. （1，3]B. [2，4]C. （2，3]D. [3，5]
问题描述：
在△ABC中，a，b，c分别是角A、B、C的对边，若a=1，且2cosC+c=2b，则△ABC的周长的取值范围是（ ）
A. （1，3]
B. [2，4]
C. （2，3]
D. [3，5]
答
△ABC中，由余弦定理可得：2cosC=a2+b2−c22ab，∵a=1，2cosC+c=2b，∴1+b2−c2b+c=2b，化简可得：（b+c）2-1=3bc，∵bc≤（b+c2）2，∴（b+c）2-1≤3×（b+c2）2，解得：b+c≤2（当且仅当b=c时，取等号）．∴a+b+c...
答案解析：由余弦定理求得 cosC，代入已知等式可得（b+c）2-1=3bc，利用基本不等式求得 b+c≤2，故a+b+c≤3．再由三角形任意两边之和大于第三边求得a+b+c＞2，由此求得△ABC的周长的取值范围．
考试点：余弦定理．
知识点：此题考查了余弦定理，以及基本不等式的运用，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．