在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cosA−2cosCcosB＝2c−ab（Ⅰ）求sinCsinA的值；（Ⅱ）若cosB＝14，b=2，求△ABC的面积S．
问题描述：
在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
＝cosA−2cosC cosB
2c−a b
（Ⅰ）求
的值；sinC sinA
（Ⅱ）若cosB＝
，b=2，求△ABC的面积S． 1 4
答
（Ⅰ）由正弦定理设
＝a sinA
＝b sinB
＝kc sinC
则
=2c−a b
=2ksinC−ksinA ksinB
=2sinC−sinA sinB
cosA−2cosC cosB
整理求得sin（A+B）=2sin（B+C）
又A+B+C=π
∴sinC=2sinA，即
=2sinC sinA
（Ⅱ）由余弦定理可知cosB=
=
a2+c2−b2
2ac
①1 4
由（Ⅰ）可知
=sinC sinA
=2②c a
①②联立求得c=2，a=1
sinB=
=
1−
1 16
15
4
∴S=
acsinB=1 2
15
4
答案解析：（Ⅰ）利用正弦定理把题设等式中的边转化成角的正弦，整理后可求得sinC和sinA的关系式，则
的值可得．sinC sinA
（Ⅱ）先通过余弦定理可求得a和c的关系式，同时利用（Ⅰ）中的结论和正弦定理求得a和c的另一关系式，最后联立求得a和c，利用三角形面积公式即可求得答案．
考试点：解三角形；三角函数中的恒等变换应用．
知识点：本题主要考查了解三角形和三角函数中恒等变换的应用．考查了学生基本分析问题的能力和基本的运算能力．