已知函数f（x）=an-1x2+（1-an）x+an-1，（x＞0，n≥2）（1）若f（1）=0，a1=1，求数列{an}的通项公式（2）若an＞1，（n∈N*），至少存在一个正数x，使f（x）≤0成立，求证：1a1+1+1a2+1+1a3+1+…+1an+1＜1（n∈N*）
已知函数f（x）=an-1x2+（1-an）x+an-1，（x＞0，n≥2）
（1）若f（1）=0，a1=1，求数列{an}的通项公式
（2）若an＞1，（n∈N*），至少存在一个正数x，使f（x）≤0成立，
求证：
+1
a1+1
+1
a2+1
+…+1
a3+1
＜1（n∈N*）1
an+1
（1）f（1）=an-1+1-an+an-1=0⇒an=2an-1+1⇒an+1=2（an-1+1）
∴an+1=2n⇒an=2n-1，（n∈N*）
证明：（2）由韦达定理分析易知，方程f（x）=0有根则必有正根，∴只需△≥0即可△=(1-an)2-4
≥0⇒(an-1)2≥4
a
⇒an-1≥2an-1⇒
a
≥2
an+1
an-1+1
∴an+1=(a1+1)•
•
a2+1
a1+1
•…
a3+1
a2+1
≥(a1+1)•2n-1＞2n
an+1
an-1+1
∴
+1
a1+1
+1
a2+1
+…+1
a3+1
＜1
an+1
+1 2
+…+1 22
=1 2n
=1-
(1-1 2
)1 2n 1-
1 2
＜11 2n
答案解析：（1）根据f（1）=0，a1=1，可得an=2an-1+1，变形得an+1=2（an-1+1），从而求出数列{an}的通项公式；（2）由韦达定理分析易知，方程f（x）=0有根则必有正根，从而只需△≥0即可，然后利用等比数列求和公式可得1a1+1+1a2+1+1a3+1+…+1an+1＜12+122+…+12n＝12(1−12n)1−12＝1−12n＜1，证得结论．
考试点：数列与不等式的综合；一元二次方程的根的分布与系数的关系；数列的函数特性；等比数列的前n项和；数列递推式．
知识点：本题主要考查了构造法求数列的通项公式，同时考查了韦达定理的运用和等比数列的求和，是一道数列与不等式综合的题，有一定的难度．