已知f(x)=ln(x+1),g(x)=1/2ax2+bx (1)若a=0,b=1时,求证:f(x)-g(x)≤0对于x∈(-1,+∞)恒成立; (2)若b=2,且h(x)=f(x-1)-g(x)存在单调递减区间,求a的取值范围; (3)利
问题描述:
已知f(x)=ln(x+1),g(x)=
ax2+bx1 2
(1)若a=0,b=1时,求证:f(x)-g(x)≤0对于x∈(-1,+∞)恒成立;
(2)若b=2,且h(x)=f(x-1)-g(x)存在单调递减区间,求a的取值范围;
(3)利用(1)的结论证明:若0<x<y,则xlnx+ylny>(x+y)ln
. x+y 2
答
∴当x=0时,m(x)有最大值0,
∴m(x)≤0恒成立.
即f(x)-g(x)≤0对于x∈(-1,+∞)恒成立.….4分
(2)b=2时h(x)=lnx−
ax2−2x,h′(x)=
−ax−2,
∵h(x)有单调递减区间,∴h′(x)<0有解,即
<0有解,
∵x>0,∴ax2+2x-1>0有解,….6分
①a≥0时合题意
②a<0时,△=4+4a>0,即a>-1,
∴a的取值范围是(-1,+∞)….8分
(3)证明:∵xlnx-ylny-(x+y)ln
=x(lnx-ln
)+y(lny-ln
)
=xln
+yln
=-xln
-yln
=-xln(1+
)-yln(1+
)
当0<x<y时,
>−1,
>−1,由(1)知xlnx+ylny−(x+y)ln
≥−x•
−y•
=0
等号在
=
=0,即x=y时成立.
而y>x>0,
∴xlnx+ylny−(x+y)ln
>0成立.….13分.
(1)设m(x)=f(x)-g(x)=ln(x+1)-x,
则ϕ′(x)=
−1=1 x+1
.….2分−x x+1
x | (-1,0) | 0 | (0,+∞) |
m′(x) | + | 0 | - |
m(x) | ↗ | 最大值 | ↘ |
∴m(x)≤0恒成立.
即f(x)-g(x)≤0对于x∈(-1,+∞)恒成立.….4分
(2)b=2时h(x)=lnx−
1 |
2 |
1 |
x |
∵h(x)有单调递减区间,∴h′(x)<0有解,即
1−ax2−2x |
x |
∵x>0,∴ax2+2x-1>0有解,….6分
①a≥0时合题意
②a<0时,△=4+4a>0,即a>-1,
∴a的取值范围是(-1,+∞)….8分
(3)证明:∵xlnx-ylny-(x+y)ln
x+y |
2 |
x+y |
2 |
x+y |
2 |
=xln
2x |
x+y |
2y |
x+y |
x+y |
2x |
x+y |
2y |
y−x |
2x |
x−y |
2y |
当0<x<y时,
y−x |
2x |
x−y |
2y |
x+y |
2 |
y−x |
2x |
x−y |
2y |
等号在
y−x |
2x |
x−y |
2y |
而y>x>0,
∴xlnx+ylny−(x+y)ln
x+y |
2 |