已知f(x)=ln(x+1),g(x)=1/2ax2+bx (1)若a=0,b=1时,求证:f(x)-g(x)≤0对于x∈(-1,+∞)恒成立; (2)若b=2,且h(x)=f(x-1)-g(x)存在单调递减区间,求a的取值范围; (3)利

问题描述:

已知f(x)=ln(x+1),g(x)=

1
2
ax2+bx
(1)若a=0,b=1时,求证:f(x)-g(x)≤0对于x∈(-1,+∞)恒成立;
(2)若b=2,且h(x)=f(x-1)-g(x)存在单调递减区间,求a的取值范围;
(3)利用(1)的结论证明:若0<x<y,则xlnx+ylny>(x+y)ln
x+y
2

(1)设m(x)=f(x)-g(x)=ln(x+1)-x,
ϕ(x)=

1
x+1
−1=
−x
x+1
.….2分
x (-1,0) 0 (0,+∞)
m′(x) + 0 -
m(x) 最大值
∴当x=0时,m(x)有最大值0,
∴m(x)≤0恒成立.
即f(x)-g(x)≤0对于x∈(-1,+∞)恒成立.….4分
(2)b=2时h(x)=lnx−
1
2
ax2−2x,h(x)=
1
x
−ax−2

∵h(x)有单调递减区间,∴h′(x)<0有解,即
1−ax2−2x
x
<0
有解,
∵x>0,∴ax2+2x-1>0有解,….6分
①a≥0时合题意
②a<0时,△=4+4a>0,即a>-1,
∴a的取值范围是(-1,+∞)….8分
(3)证明:∵xlnx-ylny-(x+y)ln
x+y
2
=x(lnx-ln
x+y
2
)+y(lny-ln
x+y
2

=xln
2x
x+y
+yln
2y
x+y
=-xln
x+y
2x
-yln
x+y
2y
=-xln(1+
y−x
2x
)-yln(1+
x−y
2y

当0<x<y时,
y−x
2x
>−1,
x−y
2y
>−1
,由(1)知xlnx+ylny−(x+y)ln
x+y
2
≥−x•
y−x
2x
−y•
x−y
2y
=0

等号在
y−x
2x
x−y
2y
=0
,即x=y时成立.
而y>x>0,
xlnx+ylny−(x+y)ln
x+y
2
>0
成立.….13分.