已知a,b,c分别为三角形ABC的三边,试判断代数式(a²+b²-c²)-4a²b²的符号说明理由

问题描述:

已知a,b,c分别为三角形ABC的三边,试判断代数式(a²+b²-c²)-4a²b²的符号
说明理由

已知a,b,c分别为三角形ABC的三边,则
a²+b²-c²=2ab*cosC
(a²+b²-c²)²-4a²b²=4a²b²(cos²C-1)代数式(a²+b²-c²)²-4a²b²的符号是负

(a²+b²-c²)²-4a²b²
=(a²+b²-c²+2ab)(a²+b²-c²-2ab)
=[(a+b)²-c²][(a-b)²-c²]
=(a+b-c)(a+b+c)(a-b+c)(a-b-c)
三角形两边之和大于第三边
a,b,c>0 ==>a+b+c>0
a+b>c ==>a+b-c>0
a+c>b ==> a-b+c>0
a a-b-c