设函数f（x）=ax2+bx+c，已知f（0）=1，f（x）=f（3-x），且函数f（x）的图象与直线x+y=0有且只有一个交点． （1）求函数f（x）的解析式； （2）当a＞1/2时，若函数g(x)＝f(lnx)+k−1lnx在区间[e，
问题描述：
设函数f（x）=ax2+bx+c，已知f（0）=1，f（x）=f（3-x），且函数f（x）的图象与直线x+y=0有且只有一个交点．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）当a＞
时，若函数g(x)＝1 2
在区间[e，e2]上是单调函数，求实数k的取值范围． f(lnx)+k−1 lnx
答
（1）因为函数f（x）=ax2+bx+c，由f（0）=1，得c=1，所以f（x）=ax2+bx+1，
又f（x）=f（3-x），所以二次函数的对称轴为x=
，即-3 2
＝b 2a
①3 2
又函数f（x）的图象与直线x+y=0有且只有一个交点，联立
得：ax2+（b+1）x+1=0
x+y＝0 ax2+bx+1＝y
所以（b+1）2-4a=0 ②
解①②得：a=1，b=-3或a＝
，b＝−1 9
1 3
所以f（x）=x2-3x+1，或f（x）=
x2−1 9
x+11 3
（2）当a＞
时，f（x）=x2-3x+1，1 2
g（x）=
=lnx+(lnx)2−3lnx+1+k−1 lnx
-3，k lnx
g′(x)＝
−1 x
=(1−k x•ln2x
)×k ln2x
，1 x
因为函数定义域为（0，+∞）所以要使函数g（x）在区间[e，e2]上是单调函数，
所以需要1−
≤0或1-k ln2x
≥0在[e，e2]上恒成立，k ln2x
解得k≥4或k≤1．