高二圆锥曲线难题
问题描述：
高二圆锥曲线难题
椭圆x^2/2+y^2=1
过动点P的直线PA,PB分别与椭圆有且只有一个交点
交点为A,BPA与PB垂直
求P轨迹方程
请数学高手帮忙,给出详解
一个小时内给出解答的,本人追加10分
答
设点A坐标(x1,y1),点B坐标(x2,y2）
A点的椭圆切线方程为x1x/2 + y1y=1
B点的椭圆切线方程为x2x/2 + y2y=1
两切线交点即为P点坐标
两式相减得：(x1-x2)x/2 + (y1-y2)y=0 ①
两式相加得：(x1+x2)x/2 + (y1+y2)y=2 ②
由于点A点B都在椭圆上,所以有：
x1^2/2+y1^2=1,x2^2/2+y2^2=1
两式相减得：(x1-x2)(x1+x2)/2 + (y1-y2)(y1+y2)=0,对照①式可知：
P点坐标x=x1+x2,y=y1+y2,然后反向代入②式得：
x²/2 + y²=2
所以P点轨迹方程为：x²/4 + y²/2 =1