如图，D是边长为4cm的等边△ABC的边AB上的一点，作DQ⊥AB交边BC于点Q，RQ⊥BC交边AC于点R，RP⊥AC交边AB于点E，交QD的延长线于点P． （1）请说明△PQR是等边三角形的理由； （2）若BD=1.3cm，则AE=_
问题描述：
如图，D是边长为4cm的等边△ABC的边AB上的一点，作DQ⊥AB交边BC于点Q，RQ⊥BC交边AC于点R，RP⊥AC交边AB于点E，交QD的延长线于点P．
（1）请说明△PQR是等边三角形的理由；
（2）若BD=1.3cm，则AE=______cm（填空）
（3）如图，当点E恰好与点D重合时，求出BD的长度．
答
（1）根据题意，△ABC为等边三角形，
∴∠B=60°．
又∵DQ⊥AB，
∴∠B+∠BQD=∠BQD+∠PQR=90°，
∴∠PQR=60°．
同理，得
∠PRQ=60°
∴△PQR是等边三角形；
（2）∠DQB=30°，BD=1.3cm，
∴BQ=2.6cm，
CQ=4-2.6=1.4CM，
∠QRC=30°，
∴CR=2.8cm，
AR=4-2.8=1.2cm，
∠AER=30°，
AE=2AR=2.4cm；
（3）易证△BDQ≌△RQC≌△ADR，
∴DB=AR，
∵RQ⊥BC，∠A=60°，
∴2AR=AD，
∴3DB=AB，
∴DB=
×4=1 3
（cm）．4 3