对于正整数n,证明1/（1*2+2²） + 1/（2*3+3²） +1/[n*(n+1)+(n+1)²]＜5/12
问题描述：
对于正整数n,证明1/（1*2+2²） + 1/（2*3+3²） +1/[n*(n+1)+(n+1)²]＜5/12
答
n*(n+1)+(n+1)²〉2n*(n+1) 所以1/[n*(n+1)+(n+1)²]＜1/2n（n+1）=1/2 ×［1/n －1/(n+1）］
则1/（1*2+2²） + 1/（2*3+3²） +.+1/[n*(n+1)+(n+1)²]＜1/2 ×［1-1/2+1/2-1/3+.+1/n-1/（n+1）］=1/2×n/（n+1）
以为n为正整数则当n=5时1/（1*2+2²） + 1/（2*3+3²） +1/[n*(n+1)+(n+1)²]＜5/12成立应该是：1/[n*(n+1)+(n+1)²]=1/(n+1)(2n+1) ＜1/(n+1)2n= 1/2[1/n- 1/(n+1)]1/（1*2+2²）+ 1/（2*3+3²）+1/[n*(n+1)+(n+1)²]＜1/（1*2+2²）+ 1/2[1/2- 1/3 +1/3-1/4+1/4-1/5...] ＜1/6+ (1/2)*(1/2)=5/12对