如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，M、N分别是AD、BC的中点，E、F分别是BM、CM中点． （1）求证：四边形MENF是菱形； （2）若四边形MENF是正方形，请探索等腰梯形ABCD的高和底边BC的数量关系，并
问题描述：
如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，M、N分别是AD、BC的中点，E、F分别是BM、CM中点．
（1）求证：四边形MENF是菱形；
（2）若四边形MENF是正方形，请探索等腰梯形ABCD的高和底边BC的数量关系，并证明你的结论．
答
（1）证明：∵四边形ABCD为等腰梯形，
∴AB=CD，∠A=∠D．
∵M为AD的中点，
∴AM=DM．（2分）
∴△ABM≌△DCM．（1分）
∴BM=CM．（1分）
∵E、F、N分别是MB、CM、BC的中点，
∴EN、FN分别为△BMC的中位线，
∴EN=
MC，FN=1 2
MB，1 2
且ME=BE=
MB，MF=FC=1 2
MC．1 2
∴EN=FN=FM=EM．
∴四边形ENFM是菱形．（1分）
（2）结论：等腰梯形ABCD的高是底边BC的一半．
理由：连接MN，
∵BM=CM，BN=CN，
∴MN⊥BC．
∴MN是梯形ABCD的高．（2分）
又∵四边形MENF是正方形，
∴∠EMF=90°，
∴△BMC为直角三角形．
又∵N是BC的中点，
∴MN=
BC．（1分）1 2
即等腰梯形ABCD的高是底边BC的一半．