阅读下列解题过程:已知a,b.c为三角形ABC的三边,且满足a^2c^2-b^2c^2=a^4-b^4,试判断三角形ABC的形状?

问题描述:

阅读下列解题过程:已知a,b.c为三角形ABC的三边,且满足a^2c^2-b^2c^2=a^4-b^4,试判断三角形ABC的形状?
等腰三角形或直角三角形.
但为什么不能是等腰直角三角形?

a²c²-b²c²=a^4-b^4
c²﹙a²-b²﹚-﹙a²-b²﹚﹙a²+b²﹚=0
﹙a²-b²﹚﹙c²-a²-b²﹚=0
﹙a-b﹚﹙a+b﹚﹙c²-a²-b²﹚=0
∵ a>0,b>0
∴ a+b>0
∴ ﹙a-b﹚﹙c²-a²-b²﹚=0
① a-b=0,a=b
∴三角形ABC是以c为底边的等腰三角形;
② c²-a²-b²=0,c²=a²+b²
∴ 三角形ABC是以c为斜边的直角三角形;
③ a-b=0,且 c²-a²-b²=0
∴ a=b c²=a²+b²
∴三角形ABC是以c为斜边的等腰直角三角形.追问 但既然可以那答案怎么没写!这道题在很多书上都有,而书上所提供的答案都只有前两种情况。本人认为:应该有第三种情况。我也是跟学生这么解释的。