已知二次函数f(x)满足条件f(0)=1,且对任何实数x都有f(x+1)-f(x)=2x,求函数f(x)的解析式
问题描述:
已知二次函数f(x)满足条件f(0)=1,且对任何实数x都有f(x+1)-f(x)=2x,求函数f(x)的解析式
答
根据f(x+1)-f(x)=2x,有①f(1)-f(0)=0②f(0)-f(-1)=-2所以f(1)=f(0)=1,f(-1)=f(0)+2=3设f(x)=ax^2+bx+c则有①f(0)=c=1②f(1)=a+b+c=1③f(-1)=a-b+c=3解得:a=1,b=-1,c=1所以f(x)=x^2-x+1具体点因为对任何实数x都有f(x+1)-f(x)=2x,那么①x=0时,f(1)-f(0)=0 ②x=-1时,f(0)-f(-1)=-2所以f(1)=f(0)=1,f(-1)=f(0)+2=3设f(x)=ax^2+bx+c则有①f(0)=c=1②f(1)=a+b+c=1③f(-1)=a-b+c=3解得:a=1,b=-1,c=1所以f(x)=x^2-x+1