已知正三棱锥S-ABC,一个正三棱柱的一个底面的三个顶点在棱锥的三条侧棱上,另一底面在正三棱锥的底面上,若正三棱锥的高为15cm,底面边长为12cm,内接正三棱柱的侧面积为120cm2, (1)

问题描述:

已知正三棱锥S-ABC,一个正三棱柱的一个底面的三个顶点在棱锥的三条侧棱上,另一底面在正三棱锥的底面上,若正三棱锥的高为15cm,底面边长为12cm,内接正三棱柱的侧面积为120cm2
(1)求正三棱柱的高;
(2)求棱柱上底面截的小棱锥与原棱锥侧面积的比.

(1)设内接正三棱柱的高为 x,底面的边长为 a,
由直角三角形相似得

15−x
15
=
2
3
×
3
2
a
2
3
×
3
2
×12

∴a=
60−4x
5
,内接正三棱柱的侧面积为:120=3a•x=3
60−4x
5
 x,
x2-15x+50=0,∴x=10 或 x=5.
∴正三棱柱的高为10cm或5cm.
(2)两个棱锥的侧面积之比等于对应的相似比的平方,相似比为
15 −x
15

当x=10 时,相似比为
1
3
,故两个棱锥的侧面积之比等于
1
9

当x=5时,相似比为
2
3
,故两个棱锥的侧面积之比等于
4
9

故棱柱上底面截的小棱锥与原棱锥侧面积的比为:1:9或4:9.