已知正三棱锥S-ABC,一个正三棱柱的一个底面的三个顶点在棱锥的三条侧棱上,另一底面在正三棱锥的底面上,若正三棱锥的高为15cm,底面边长为12cm,内接正三棱柱的侧面积为120cm2, (1)
问题描述:
已知正三棱锥S-ABC,一个正三棱柱的一个底面的三个顶点在棱锥的三条侧棱上,另一底面在正三棱锥的底面上,若正三棱锥的高为15cm,底面边长为12cm,内接正三棱柱的侧面积为120cm2,
(1)求正三棱柱的高;
(2)求棱柱上底面截的小棱锥与原棱锥侧面积的比.
答
(1)设内接正三棱柱的高为 x,底面的边长为 a,
由直角三角形相似得
=15−x 15
,
×2 3
a
3
2
×2 3
×12
3
2
∴a=
,内接正三棱柱的侧面积为:120=3a•x=360−4x 5
x,60−4x 5
x2-15x+50=0,∴x=10 或 x=5.
∴正三棱柱的高为10cm或5cm.
(2)两个棱锥的侧面积之比等于对应的相似比的平方,相似比为
,15 −x 15
当x=10 时,相似比为
,故两个棱锥的侧面积之比等于1 3
,1 9
当x=5时,相似比为
,故两个棱锥的侧面积之比等于2 3
,4 9
故棱柱上底面截的小棱锥与原棱锥侧面积的比为:1:9或4:9.