已知正三棱锥S-ABC，一个正三棱柱的一个底面的三个顶点在棱锥的三条侧棱上，另一底面在正三棱锥的底面上，若正三棱锥的高为15cm，底面边长为12cm，内接正三棱柱的侧面积为120cm2，（1）求正三棱柱的高；（2）求棱柱上底面截的小棱锥与原棱锥侧面积的比．
问题描述：
已知正三棱锥S-ABC，一个正三棱柱的一个底面的三个顶点在棱锥的三条侧棱上，另一底面在正三棱锥的底面上，若正三棱锥的高为15cm，底面边长为12cm，内接正三棱柱的侧面积为120cm2，
（1）求正三棱柱的高；
（2）求棱柱上底面截的小棱锥与原棱锥侧面积的比．
答
（1）设内接正三棱柱的高为 x，底面的边长为 a，由直角三角形相似得 15−x15=23×32a23×32×12，∴a=60−4x5，内接正三棱柱的侧面积为：120=3a•x=360−4x5 x，x2-15x+50=0，∴x=10 或 x=5．∴正三棱柱的...
答案解析：（1） 设内接正三棱柱的高为 x，底面的边长为 a，由直角三角形相似及内接正三棱柱的侧面积，解方程求出正三棱柱的高．
（2） 利用两个棱锥的侧面积之比等于对应的相似比的平方，相似比为
，把x=10或x=5代入可求得棱柱上底面截的小棱锥与原棱锥侧面积的比．15 −x 15
考试点：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．
知识点：本题考查棱柱、棱锥的侧面积的求法，面积比与相似比的关系．