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在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a、b、c成等比数列． （1）求角B的取值范围； （2）若关于B的表达式cos2B-4sin（π4+B/2）sin（π4−B/2）+m＞0恒成立，求实数m的取值范围．

分类: 作业答案 • 2022-04-25 21:51:24
问题描述：

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a、b、c成等比数列．
（1）求角B的取值范围；
（2）若关于B的表达式cos2B-4sin（

π
4
+
B
2
）sin（
π
4
−
B
2
）+m＞0恒成立，求实数m的取值范围．

答

（1）∵b2=ac
cosB=

a2+c2−b2
2ac
≥
2ac−ac
2ac
=
1
2

当且仅当a=b=c时，cosB=
1
2

∴B∈（0，
π
3
]
（2）cos2B-4sin（
π
4
+
B
2
）cos（
π
4
−
B
2
）+m
=cos2B-4sin（
π
4
+
B
2
）sin（
π
4
+
B
2
）+m
=cos2B-2[1-cos（
π
2
+B）]+m
=2cos2B-2sinB+m-3
=2（cosB-
1
2
）2+m-
7
2

1
2
≤cosB＜1
∴2（cosB-
1
2
）2+m-
7
2
∈[m-
7
2
，m-3]
∵不等式cos2B-4sin（
π
4
+
B
2
）sin（
π
4
−
B
2
）+m＞0恒成立．
∴m-
7
2
＞0，m＞
7
2

故m的取值范围是（
7
2
，+∞）

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