空间四边形ABCD中,若AB垂直AC,AB垂直AD,AC垂直AD,点O是A点在平面BCD内的射影,求证:O是三角形BCD的垂心.
问题描述:
空间四边形ABCD中,若AB垂直AC,AB垂直AD,AC垂直AD,点O是A点在平面BCD内的射影,求证:O是三角形BCD的垂心.
答
连结DO并延长交BC于H,连结AH
易证:AD垂直于BC(AD垂直于面ABC)
又因为OA垂直于面BCD,所以BC垂直于AO,AO∩AD=A
所以BC垂直于面ADOH
所以BC垂直于DO
同理证其它两边.
所以是垂心.
(也可利用空间向量求解)