第一题：在△ABC中,AD是∠BAC的平分线,AD的垂直平分线EF交BA于P,交AC于Q,交BC延长线于F,连接AF.求证：∠BAF等于∠ACF.

第一题：
E是AD与PQ的交点
AD是∠BAC的平分线,则∠PAE=∠EAQ--(1)
PQ垂直平分AD,则AE=DE,EF=EF(HL定理),得△AEF全等于△DEF,得∠EAF=∠EDF--(2)
∠ACF=∠EDF+∠EAQ
∠BAF=∠EAF+∠PAE
其中,∠EAQ=∠PAE--(1),∠EAF=∠EDF--(2)
所以∠BAF=∠ACF
第二题：
延长BE交AC于F
AD是∠BAC的平分线,则∠BAE=∠FAE
∠BAE=∠FAE,∠AEB=∠AEF=90°,AE=AE(角边角),得△ABE全等于△AFE,故BE=EF,AB=AF,--(1)∠ABE=∠AFE---(2)
∠AFE=∠CBF+∠C,∠ABC=∠ABE+∠CBE,因为(2),则∠ABC=2∠CBF+∠C=3∠C,化简得,∠CBF=∠C,那么△BCF为等腰三角形,BF=CF
因为(1),则BE=1/2(BF)=1/2(CF)=1/2(AC-CB)
第三题：
(1)
α=150°,∠AOB=110°,则∠AOC=100°
△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得到△ADC,则∠OCD=60°
△BOC全等于△ACD,则∠ADC=α=150°,CO=CD
∠OCD=60°,CO=CD,故△COD为等边三角形
可得∠COD=∠CDO=60°
则∠AOD=∠AOC-∠COD=40°,∠ADO=∠ADC-∠CDO=90°,那么△AOD为直角三角形
(2)
∠AOC=360°-110°-α=250°-α,
∠ADO=∠ADC-∠CDO=∠BOC-60°=α-60°,∠AOD=∠AOC-∠COD=190°-α
∠OAD=360°-∠OCD-∠AOC-∠ADC=360°-60°-(250°-α)-α=50°
△AOD是等腰三角形,则
(a)假设AO=AD,则∠AOD=∠ADO,α-60°=190°-α,解得α=125°
验证∠AOD=∠ADO=65°,∠OAD=50°,符合内角和180°
(b)假设AO=DO,则∠DAO=∠ADO,50°=α-60°,解得α=110°
验证∠DAO=∠ADO=50°,∠AOD=190°-α=80°,符合内角和180°
(c)假设AD=DO,则∠OAD=∠1OD,50°=190°-α,解得α=140°
验证∠OAD=∠1OD=50°,∠AOD=α-60°=80°,符合内角和180°
综上,α=110°或125°或140°