证明2222^5555+5555^2222能被7整除

2222^5555+5555^2222
=(7*318-4)^5555+(7*793+4)^2222
=7M-4^5555+7N+4^2222 (展开二项式,只保留最后一项,前面的所有项都含有7*318或7*793都是7的倍数)
=7(M+N)-4^2222*4^3333+4^2222
=7(M+N)-4^2222(4^3333-1) (后面二项题取公因数)
=7(M+N)-4^2222((4^3)^1111-1)
=7(M+N)-4^2222(64^1111-1)
=7(M+N)-4^2222((7*9+1)^1111-1)
=7(M+N)-4^2222(7*9K+1^1111-1) (同上,二项式展开保留最后一项)
=7(M+N)-4^2222*7*9K
=7(M+N-4^2222*9K)
或：
把原式分两部分来看.
我们先求2222^5555除以7的余数.来看看2222的幂除以7的余数的规律:
2222的1次幂:余数是3,则2222=7a+3
2222的2次幂:2222^2=(7a+3)(7a+3)=7a^2+3*7a+3*7a+3*3,即其余数为3*3除以7的余数:2.即2222^2=7b+2.
2222的3次幂则等于(7b+2)(7a+3),其余数为2*3除以7的余数:6.
2222的4次幂则等于(7c+6)(7a+3),其余数为6*3除以7的余数:4.
2222的5次幂则等于(7d+4)(7a+3),其余数为4*3除以7的余数:5.
2222的6次幂则等于(7e+5)(7a+3),其余数为5*3除以7的余数:1.
2222的7次幂则等于(7f+1)(7a+3),其余数为1*3除以7的余数:3.
这时2222的幂除以7的余数已经开始6位循环了,即为
3,2,6,4,5,1
5555除以6余5,即2222^5555除以7的余数是上排的第5个:5.
再看5555^2222除以7的余数,用相同方法轻松得出其除以7的余数是3位循环:4,2,1.
2222除以3余数是2,即5555^2222除以7的余数是上排的第2个:2.
所以2222^5555+5555^2222=(7x+5)+(7y+2)=7x+7y+7,即可以被7整除.