设函数f（x）满足f（x+y）=f（x）+f（y）+xy（x+y），又f'（0）=1，则函数f（x）的解析式为 ___ ．
问题描述：
设函数f（x）满足f（x+y）=f（x）+f（y）+xy（x+y），又f'（0）=1，则函数f（x）的解析式为 ___ ．
答
知识点：本题主要考查了函数解析式的求解，由于用到了利用递推公式和叠加法以及12+22+…+（x-1）2=
①再加上导数的应用，综合性较强难度较大．解题的关键是利用y=1得出f（x+1）-f（x）=f（1）+x2+x再利用叠加法结合公式①得出f（x）=xf（1）+
！
∵f（x+y）=f（x）+f（y）+xy（x+y）∴令y=1则f（x+1）-f（x）=f（1）+x2+x∴f（2）-f（1）=f（1）+12+1f（3）-f（2）=f（1）+22+2…f（x）-f（x-1）=f（1）+（x-1）2+（x-1）∴将上面（x-1）个式子相加可得f（x）-f...
答案解析：可令y=1可得f（x+1）-f（x）=f（1）+x2+x然后分别赋予x为1，2，3…，（x-1）将这（x-1）个式子相加再结合12+22+…+（x-1）2=
可得f（x）=xf（1）+x(x−1)(2x−1) 6
下面只需求出f（1）即可求解而f'（0）=1，两边求导即可求出f（1）=
x3−x 3
再代入即可求出f（x）．4 3
考试点：函数解析式的求解及常用方法．
知识点：本题主要考查了函数解析式的求解，由于用到了利用递推公式和叠加法以及12+22+…+（x-1）2=
| x(x−1)(2x−1) |
| 6 |
| x3−x |
| 3 |