在△ABC中,∠BAC与∠ABC的角平分线AE、BE相交于点E,延长AE交△ABC的外接圆于D点,连接BD、CD、CE,且∠BDA=60°①求证:△BDE是等边三角形;②若∠BDC=120°,猜想BDCE是怎样的四边形,并证明你的猜想;③在②的条件下当CE=4时,求四边形ABDC的面积.

问题描述:

在△ABC中,∠BAC与∠ABC的角平分线AE、BE相交于点E,延长AE交△ABC的外接圆于D点,连接BD、CD、CE,且∠BDA=60°
①求证:△BDE是等边三角形;
②若∠BDC=120°,猜想BDCE是怎样的四边形,并证明你的猜想;
③在②的条件下当CE=4时,求四边形ABDC的面积.

①证明:如图,在圆中∠ACB=∠BDA=60°,
∴∠ABC+∠BAC=120°,
又∵AE、BE是∠BAC与∠ABC的角平分线,
∴∠BED=∠ABE+∠BAE=

1
2
(∠ABC+∠BAC)=60°,
∴△BDE是等边三角形.
②四边形BDCE是菱形.
证明:∵∠BDC=120°,∠BDA=60°,
∴∠ABC=∠ADC=60°
∵BE是∠ABC的角平分线,△BDE是等边三角形,
∴BF平分∠EBD,且BC垂直平分DE,
∵∠BDF=∠CDF,∠BFD=∠CFD,DF=DF,
∴△BFD≌△CFD,
∴BF=CF,
∴DE垂直平分BC,
因此四边形BDCE是菱形.
③由∠ABC=∠ADC=60°,∠ACB=∠ADB=60°,AE是∠BAC的角平分线,
可得∠CAD=30°,AD为圆的直径,CD=CE=4,
∴AD=2CD=8,AC=4
3

因此S四边形ABDC=2×(4×4
3
×
1
2
)=16
3

答案解析:①由等弧所对圆周角可得∠BCA=∠BDA=60°,显然∠BAC+∠ABC=120°,由两条角平分线和三角形的外角性质,可得到∠BED=60°,由此得证.
②由△BDE是等边三角形,可以得出BC垂直平分DE,从而证得△CDE为等边三角形,解决第二个问题.
③由第二个问题的结论,利用菱形面积等于对角线乘积的一半解决第三个问题.
考试点:等边三角形的判定;菱形的判定与性质;圆周角定理.

知识点:此题主要考查等边三角形的判定,菱形的判定及三角形面积的有关计算.